Презентация - Системы счисления

Слайд 1

Системы счисления

Слайд 2

История возникновения счета
Счет появился тогда, когда человеку потребовалось информировать своих сородичей о количестве обнаруженных им предметов. В разных местах придумывались разные способы передачи численной информации: от зарубок по числу предметов до хитроумных знаков - цифр. Во многих местах люди стали использовать для счета пальцы. Одна из таких систем счета и стала общеупотребительной – десятичная.

Слайд 3

Система счисления
Система счисления – это способ записи чисел по определенным правилам с помощью специальных знаков – цифр. Знаки (символы), используемые в СС для обозначения чисел, называются цифрами. Алфавит – это набор цифр. {0, 1, 2, …, 9}
Числа: 523 1010011 CXL
Цифры: 0, 1, 2, 3,… 0,1 I, V, X, L, …

Слайд 4

Типы систем счисления
Типы систем счисления
Непозиционные
Позиционные
значение цифры не зависит от ее места (позиции) в записи числа;
значение цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа;

Слайд 5

Позиционные системы счисления
Значение цифры зависит от ее позиции, т.е. одна и та же цифра соответствует разным значениям в зависимости от того, в какой позиции числа она стоит.
5 десятков
555
Десятичная система
5 сотен
5 единиц

Слайд 6

Позиционные системы счисления
Основание системы счисления (N) - количество цифр (знаков), используемых для представления чисел
N=2
Основание
0, 1
Алфавит
Пример
10010112
N=4
0, 1, 2, 3
23014
Двоичная система счисления
Четверичная система счисления

Слайд 7

Позиционные системы счисления
Основание
Алфавит
Пример
N=8
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
5278
N=16
10 11 12 13 14 15 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, B, C, D, E, F
2F516
Восьмеричная система счисления
Шестнадцатеричная система счисления

Слайд 8

Решение задач
В каких системах счисления записаны числа? 259310, 1101012, 2078, 5С16
2314 73528 2848 21544 101112 10020112 5D812
Найти ошибки в записи чисел в различных С.С.

Слайд 9

Решение задач
Какое минимальное основание должна иметь С.С., если в ней могут быть записаны числа
312? 1012? 6720? 790? 1000? 3440? 2F1? А19?

Слайд 10

Соответствие между числами в различных системах счисления
10-ая 2-ая 8-ая 16-ая
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 А
11 1011 13 В
12 1100 14 С
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F
16 10000 20 10
17 10001 21 11

Слайд 11

Соответствие систем счисления
Десятичная 0 1 2 3 4 5 6 7
Двоичная 0 1 10 11 100 101 110 111
Восьмеричная 0 1 2 3 4 5 6 7
Шестнадцатеричная 0 1 2 3 4 5 6 7
Десятичная 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Двоичная 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000
Восьмеричная 10 11 12 13 14 15 16 17 20
Шестнадцатеричная 8 9 A B C D E F 10

Слайд 12

Перевод чисел из 10-й СС в 2-ю СС
Правила перевода Разделить десятичное число на 2. Получится частное и остаток. Частное опять разделить на 2. Выполнять деление до тех пор, пока последнее частное не станет меньшим 2. Записать последнее частное и все остатки в обратном порядке. Полученное число и будет двоичной записью исходного десятичного числа.

Слайд 13

Перевод чисел из 10-й СС в 2-ю СС
1
5710 → Х2
57
2
Ответ: 5710 = 1110012
Записываем выделенные остатки в обратном порядке
56
28
2
28
0
14
2
14
0
7
2
6
1
3
2
2
1
1

Слайд 14

Перевод чисел из 10-й СС в 8-ю СС
4
10010 → Х8
100
8
Ответ: 10010 = 1448
Записываем выделенные остатки в обратном порядке
96
12
8
8
4
1

Слайд 15

Перевод чисел из 10-й СС в 16-ю СС
15
33510 → Х16
335
16
Ответ: 33510 = 14F16
Записываем выделенные остатки в обратном порядке
320
20
16
16
4
1
F
Основание (количество цифр): 16 Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
A,10
B,11
C,12
D,13
E,14
F 15

Слайд 16

185 2 184 24 2 1 24 12 2 0 12 6 2 0 6 3 2 0 2 1 1
Решение задач
В двоичную систему:
18510 =
В четверичную систему:
78 4 76 19 4 2 16 4 4 3 4 1 0
7810 =
101110012
10324

Слайд 17

Решение задач
Восьмеричная система:
7510 =
132 8 128 16 8 4 16 2 0
2048
75 8 72 9 8 3 8 1 1
279 8 272 34 8 7 32 4 2
27910 =
1138
13210 =
4278

Слайд 18

Решение задач
Шестнадцатиричная система:
10710 =
250 16 240 15 10
25010 =
107 16 96 6 11
721 16 720 45 16 1 32 2 13
72110 = 2D116
6В16
FA16

Слайд 19

Перевод в десятичную СС
Формы записи числа
Развернутая
Свернутая
=2*100+7*10+5*1 = =2*102+7*101+5*100
27510
Любое позиционное число можно представить в виде суммы степеней основания системы.

Слайд 20

Решение задач
Запишите числа в развернутой форме: 259310, 1101012, 2078, 5С16
Запишите числа в свернутой форме: 1*24+1*23+0*22+1*21+0*20 = 7*102+3*101+1*100 = 3*81+3*80 = 14*161+5*160 =

Слайд 21

Перевод из 2-ой в 10-ую СС
11012
3 2 1 0
=1*23
+1*22+0*21+1*2=
Основание системы
Разряд цифры
=8+4+1 = 13
Для перехода из двоичной системы счисления в десятичную необходимо двоичное число представить в виде суммы степеней двойки и найти ее десятичное значение.

Слайд 22

Решение задач
100112
4 3 2 1 0
= 1·24 + 0·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20 = 16 + 2 + 1 = 1910
11011100 = 1*27 + 1*26 + 1*24 + + 1*23 + 1*22 = = 128 + 64 + 16 + 8 + 4 =22010
7 6 5 4 3 2 1 0

Слайд 23

Перевод из 8-ой в 10-ую СС
718
1 0
= 7*81+1*80 = 56+1= 5710
1448
2 1 0
= 1·82 + 4·81 + 4·80 = = 64 + 32 + 4 = 10010

Слайд 24

Перевод из 16-ой в 10-ую СС
7А16
1 0
= 7·161 + 10·160 = = 112 + 10 = 12210
2С616
2 1 0
= 2·162 + 12·161 + 6·160 = = 512 + 192 + 6 = 71010
1C516
2 1 0
= 1·162 + 12·161 + 5·160 = 256 + 192 + 5 = 453
C
1D416 = 1*162 + 13*161 + 4*160 = = 256 + 208 + 4 = 46810
2 1 0

Слайд 25

Задание. Перевести в 10-ю СС
1010112 = 1101102 = 758 = 1348 = 7658 = 120314 =
26438 = 1BC16 = 22B16 = A3516 = 2FE116 =

Слайд 26

Домашнее задание
Переведите числа из одной системы счисления в другую. 718 → Х10 → Х2; 5Е16 → Х10 → Х8; 110102 → Х10 → Х16; AF16 → Х10 → Х2

Слайд 27

Домашнее задание
Для каждого из чисел: 12310, 45610 выполнить перевод: 102, 10  8, 10  16. Для каждого из чисел: 1000112, 1010010112, 11100100012 выполнить перевод: 2  10, 2  8, 2  16. Для чисел: 543218, 545258, 7778, 1AB16, A1B16, E2E416, E7E516 выполнить соответствующий перевод: 8  2, 16  2.

Слайд 28

Перевод дробных чисел в десятичную с.с.
1001,112
3 2 1 0 -1 -2
= 1·23 + 1·20 + 1·2-1 + 1·2-2= = 8 + 1 + 0,5 + 0,25 = 9,7510
101,0112
2 1 0 -1 -2 -3
= 1·22 + 1·20 + 1·2-2 + 1·2-3= = 4 + 1 + 0,25 + 0,125 = 5,37510
 
1003,2014
= 1*43+3*40+2*4-1+1*4-3 =64+3+0,5+0,015625= =67,51562510
 

Слайд 29

Перевод правильной десятичной дроби из десятичной системы счисления
Алгоритм перевода: Последовательно умножать десятичную дробь и получаемые дробные части произведений на основание новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть не станет равна нулю или не будет достигнута необходимая точность перевода. Полученные целые части произведений выразить цифрами алфавита новой системы счисления. Записать дробную часть числа в новой системе счисления начиная с целой части первого произведения.

Слайд 30

Перевод дробных чисел 10  2
0,2510 =
,5
0
1
0,012
0 ,25
 2
 2
,0
105,2510 = 105 + 0,25 = 1101001,012
10510 = 11010012
Перевод дробной части числа из десятичной СС в другую позиционную СС выполняется последовательным умножением на основание системы, пока дробная часть не станет равна 0.

Слайд 31

Перевод дробных чисел 10  2
25,375 =
,750
0
1
1
11001,0112
0 ,375
 2
 2
 2
,5
,0
0,7 = 0,101100110… = 0,1(0110)2
Многие дробные числа нельзя представить в виде конечных двоичных дробей. Для их точного хранения требуется бесконечное число разрядов.

Слайд 32

Перевод дробных чисел 10  4
233,87510 =?4
180,6562510  х4
18010  23104
,625
2
2
2
0 ,65625
 4
 4
 4
,5
,0
180,6562510  2310,2224

Слайд 33

Арифметические операции
33
сложение
вычитание
0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=102 1 + 1 + 1 = 112
0-0=0 1-1=0 1-0=1 102-1=1
перенос
заем
1 0 1 1 02 + 1 1 1 0 1 12
1

0
0

0
1
1
0
2
1 0 0 0 1 0 12 – 1 1 0 1 12
1


0 102
1
0
0 1 1 102
0
1
0




Слайд 34

Арифметические операции
34
34

Слайд 35

Арифметические действия

Слайд 36

Арифметические действия
сложение
1 5 68 + 6 6 28

1
6 + 2 = 8 = 8 + 0 5 + 6 + 1 = 12 = 8 + 4 1 + 6 + 1 = 8 = 8 + 0

1 в перенос
1 в перенос

08
0
4
1 в перенос

Слайд 37

Арифметические действия
37

Слайд 38

Арифметические действия
вычитание
4 5 68 – 2 7 78

(6 + 8) – 7 = 7 (5 – 1 + 8) – 7 = 5 (4 – 1) – 2 = 1

заем
78
1
5
заем

Слайд 39

Арифметические действия

Слайд 40

Арифметические действия
сложение
A 5 B16 + C 7 E16

1 6 D 916
10 5 11 + 12 7 14
11+14=25=16+9 5+7+1=13=D16 10+12=22=16+6

1 в перенос
1 в перенос
13
9
6
1

Слайд 41

Арифметические действия
С В А16 + A 5 916
10 В А16 + 8 5 616

Слайд 42

Арифметические действия
вычитание
С 5 B16 – A 7 E16
заем

1 D D16
12 5 11 – 10 7 14

(11+16)–14=13=D16 (5 – 1)+16 – 7=13=D16 (12 – 1) – 10 = 1
заем
13
1
13

Слайд 43

Арифметические действия
10 В А16 – A 5 916

Слайд 44

Арифметические действия
умножение
1 0 1 0 12  1 0 12
1 0 1 0 12 + 1 0 1 0 12
1 1 0 1 0 0 12
2 0 1 34  2 14
2 0 1 34 + 1 0 0 3 24
1 0 2 3 3 34

Слайд 45

Арифметические действия
умножение
7 2 58  1 48
3 5 2 48 + 7 2 58
1 2 7 7 48
3 А 216  3 116
3 А 216 + А Е 616
В 2 0 216