Презентация - Загадки пирамиды

Слайд 1

Загадки пирамиды.

Слайд 2

Выполнили Студенты группы №25 Свирин Олег, Драгушин Артём, Лазарев Артём.
г. Рязань 2016г.

Слайд 3

Введение
Египетские пирамиды – одно из семи чудес света.… Меня всегда восхищали эти строения! Когда я пошел в колледж, мы начали изучать стереометрические фигуры и затронули тему «Пирамида». Мне стало очень интересно, и я решил изучить свойства этой необычной фигуры немного подробнее. Пирамиды представляют интерес для математиков, историков, физиков, биологов, медиков, философов.

Слайд 4

Чем больше мы узнаем о пирамидах, тем больше у нас возникает вопросов. Хотя не стоит забывать и о том, что пирамиды таят в себе ответы на огромное количество вопросов, которыми сейчас задается наука. Пирамиды, несмотря на свою древность, могут многому нас научить. Исследованием пирамид с использованием новейших приборов занимались американцы, японцы. Пирамиды снимали со спутников. Американская станция "Маринер"' передала фотографии с Марса, на которых изображены такие же пирамиды, что наводит на мысль об их внеземном происхождении. Так что же такое пирамиды?

Слайд 5

Цель:
Познать тайны пирамид и разгадать некоторые особенности этого неизвестного нам пока мира.

Слайд 6

Задачи:
1. Исторические сведения о пирамиде. 2. Различные трактовки определения пирамиды 3. Основные элементы 4. Сечения пирамиды 5. Виды пирамид правильная пирамида усеченная пирамида 6. Площадь пирамиды 7. Измерение объема 8. Тетраэдр – простейшая пирамида основные элементы виды тетраэдров свойства тетраэдра 9. Задачи 10. Решение задач

Слайд 7

Исторические сведения о пирамидах.

Слайд 8

Усыпальницы египетских фараонов. Крупнейшие из них — пирамиды Хеопса, Хефрена и Микерина в Эль-Гизе в древности считались одним из Семи чудес света. Возведение пирамиды, в котором уже греки и римляне видели памятник невиданной гордыни царей и жестокости, обрекшей весь народ Египта на бессмысленное строительство, было важнейшим культовым деянием и должно было выражать, по всей видимости, мистическое тождество страны и ее правителя. Ряд текстов свидетельствует о том внимании и заботе, которые сами цари (правда, более позднего времени) уделяли возведению своей гробницы и ее строителям. Известно также об особых культовых почестях, которые оказывались самой пирамиде.

Слайд 9

Пирамиды выстроены на левом — западном берегу Нила (Запад — царство мертвых) и возвышались над всем городом мертвых — бесчисленными гробницами, пирамидами, храмами.

Слайд 10

Самая большая из трех — пирамида Хеопса. Ее высота была изначально 147 м, а длина стороны основания — 232 м. Для ее сооружения потребовалось 2 млн. 300 тыс. огромных каменных блоков, средний вес которых 2,5 т. В древности пирамиды были облицованы отполированными плитами белого известняка, вершины их были покрыты медными листами, сверкавшими на солнце (известняковую обшивку сохранила только пирамида Хеопса, покрытие других пирамид арабы использовали при строительстве Белой мечети в Каире). Близ пирамиды Хефрена возвышается одна из крупнейших статуй древности и нашего времени — высеченная из скалы фигура лежащего сфинкса с портретными чертами самого фараона Хефрена.

Слайд 11

Великие пирамиды были окружены рядом небольших усыпальниц жен фараонов и их приближенных. В такие комплексы обязательно входили святилища Верхнего и Нижнего Египта, большие дворы для проведения праздника хеб-су, заупокойные храмы, служители которых должны были поддерживать культ умершего царя. Пространство вокруг пирамиды, окруженное стенами, посредством длинного крытого перехода соединялось с храмом на берегу Нила, где встречали тело фараона и начинались погребальные церемонии.

Слайд 12

Все пирамиды точно сориентированы по сторонам света, что свидетельствует о высоком уровне астрономических знаний древних египтян, расчет углов наклона граней совершенно безукоризнен. В пирамиде Хеопса угол наклона таков, что высота пирамиды равна радиусу воображаемой окружности, в которую вписано основание пирамиды.

Слайд 13

Сооружения в Эль-Гизе своей грандиозностью и видимой бесполезностью поражали воображение уже в древности, что лучше всего передает арабская пословица: «Все на свете боится времени, но время боится пирамид».

Слайд 14

Различные трактовки определения пирамиды

Слайд 15

Пирамиду Евклид оределяет как телесную фигуру, ограниченную плоскостями, которые от одной плоскости (основания) сходятся в одной точке (вершине).

Слайд 16

Это определение подвергалось критике уже в древности, например, Героном, предложившим следующее определение пирамиды: это фигура, ограниченная треугольниками, сходящимися в одной точке, и основанием которой служит многоугольник.

Слайд 17

Важнейшим недостатком этого определения является использование неопределенного понятия основания. Тейлор определил пирамиду как многогранник, у которого все грани, кроме одной, сходятся в одной точке.

Слайд 18

Лежандр в “Элементах геометрии” так определяет пирамиду: “Телесная фигура, образованная треугольниками, сходящимися в одной точке и заканчивающаяся на различных сторонах плоского основания”. После этой формулировки разъясняется понятие основания. Определение Лежандра является явно избыточным, т.е. содержит признаки, которые можно вывести из других.

Слайд 19

А вот еще одно определение, которое фигурировало в учебниках XIX века: пирамида - телесный угол, пересеченный плоскостью.

Слайд 20

Пирами́да (от греч. pyramis, род. п. pyramidos), многогранник, основание которого многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.

Слайд 21

Чаще всего учащиеся сталкиваются со следующим определением, которое я считаю самым объективным: Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника, – основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания, – вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.

Слайд 22

Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. Каждая боковая грань – треугольник. Одной из его вершин является вершина пирамиды, а противолежащей стороной – сторона основания пирамиды. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Слайд 23

У пирамиды, изображенной на рис. 1, основание – многоугольник ABCD, вершина пирамиды – S, боковые ребра – SA, SB, SC, SD, боковые грани – ∆ASB, ∆BSC, ∆CSD, ∆ASD, высота SO.

Слайд 24

Чтобы получить пирамиду, достаточно какой-нибудь многогранный угол S пересечь произвольной плоскостью ABCD и взять отсеченную часть SABCD (рис. 2).

Слайд 25

По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырехугольные и т. д.
Неправильная шестигранная пирамида.

Слайд 26

Сечения пирамиды.

Слайд 27

Сечения пирамиды плоскостями, проходящими через ее вершину, представляют собой треугольники (рис. 3). В частности, треугольниками являются диагональные сечения. Это сечение плоскостями, проходящими через два несоседних боковых ребра пирамиды.
∆CEF – сечение пирамиды SABCD

Слайд 28

Плоскость, проведенная через вершину пирамиды и через какую-нибудь диагональ основания, называется диагональной плоскостью (рис. 4).
∆SDB–диагональное сечение пирамиды SABCD

Слайд 29

Правильная пирамида

Слайд 30

Определение: Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в центр основания.

Слайд 31

Очевидно, у правильной пирамиды боковые ребра равны; следовательно, боковые грани – равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.

Слайд 32

Пусть SABCDE – правильная пятиугольная пирамида (рис. 6). Тогда по определению ее основание ABCDE – правильный плоский пятиугольник; центр основания пирамиды O – основание высоты пирамиды SO.

Слайд 33

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из вершины пирамиды, называется апофемой. Например, SK – апофема правильной пирамиды. При повороте вокруг прямой OS на правильный многоугольник ABCDE каждый раз совместится с собой, тогда совместится с собой и пирамида. Значит, прямая, на которой лежит высота правильной n-угольной пирамиды, есть ее ось симметрии n-го порядка.
5
360°

Слайд 34

Отсюда следует, что у правильной пирамиды: боковые ребра равны боковые грани равны апофемы равны двугранные углы при основании равны двугранные углы при боковых ребрах равны каждая точка высоты равноудалена от всех вершин основания каждая точка высоты равноудалена от всех боковых граней

Слайд 35

Теорема: Если в пирамиде все боковые ребра равны, то вершина проектируется в центр описанной около основания окружности.

Слайд 36

Дано: SABCDE – правильная пирамида; SA = SB = SC = SD = SE; SOABCDE Доказать: O – центр описанной окружности

Слайд 37

S – точка, равноудаленная от всех вершин многоугольника ABCDE. Т.к наклонные равны, значит и проекции будут равны O – центр окружности, описанной около многоугольника.

Слайд 38

Теорема: Если в пирамиде все двугранные углы при основании равны, то вершина проектируется в центр вписанной в основание окружности.

Слайд 39

Дано: SABCDE – правильная пирамида AB = BC = CD = DE = AE; SOABCDE Доказать: O – центр вписанной окружности

Слайд 40

Проведем OK AB, OL BC, OM CD, ON ED, OP AE, тогда по теореме о трех перпендикулярах SKAB, SLBC, SMCD, SNED, SPAE, значит, SKO, SLO, SMO, SNO, SPO – линейные углы двугранных углов при основании пирамиды.

Слайд 41

По условию двугранные углы равны, значит и соответствующие линейные углы будут равны. Поэтому ∆SKO = ∆SLO = ∆SMO = ∆SNO = ∆SPO как прямоугольные треугольники, в которых катет SO общий, а острые углы равны. Из равенства треугольников следует, что OK = OL = OM = ON = OP точка O равноудалена от всех сторон многоугольника ABCDE. Значит, она – центр вписанной окружности.

Слайд 42

Симметрия правильной пирамиды

Слайд 43

1. Плоскости симметрии: при четном числе сторон основания — плоскости, проходящие через противолежащие боковые ребра; и плоскости, проходящие через медианы, проведенные к основанию противолежащих боковых граней (рис. 9).

Слайд 44

2. Ось симметрии: при четном числе сторон основания — ось симметрии, проходящая через вершину правильной пирамиды и центр основания (рис. 10).

Слайд 45

Усеченная пирамида

Слайд 46

Теорема:
Плоскость, пересекающая пирамиду и параллельная ее основанию отсекает подобную пирамиду.

Слайд 47

Пусть S – вершина пирамиды, A – вершина основания и A1 – точка пересечения секущей плоскости с боковым ребром SA. Подвергнем пирамиду преобразованию гомотетии (фр. homothetie греч. homos равный, одинаковый, общий + thetos расположенный) относительно вершины S с коэффициентом гомотетии: k =
SA1
SA

Слайд 48

При этой гомотетии плоскость основания переходит в параллельную плоскость, а следовательно, вся пирамида – в отсекаемую этой плоскостью часть. Так как гомотетия есть преобразование подобия, то отсекаемая часть пирамиды является пирамидой подобной данной.

Слайд 49

По теореме плоскость, параллельная плоскости основания пирамиды и пересекающая ее боковые ребра, отсекает от нее подобную пирамиду. Другая часть представляет собой многогранник, который называется усеченной пирамидой. Грани усеченной пирамиды, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями; остальные грани называются боковыми гранями. Основания усеченной пирамиды подобные многоугольники, их стороны попарно параллельны, поэтому боковые грани – трапеции.

Слайд 50

Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания на плоскость другого основания. Сечение плоскостью, проходящей через два боковых ребра усеченной пирамиды, не лежащих в одной грани, называется диагональным.

Слайд 51

Например, многогранник ABCDA1B1C1D1 – усеченная пирамида. Плоский многоугольник ABCDE и сечение A1B1C1D1 – основания усеченной пирамиды. Трапеции A1E1EA, E1D1DE, C1D1DC, B1C1CB, A1B1BA – боковые грани. HH1 – высота. E1C1CE – диагональное сечение усеченной пирамиды.

Слайд 52

Теорема: Если пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию, то: боковые ребра и высота пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные части; Сечение – это многоугольник, подобный основанию; Площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний от вершины;

Слайд 53

Следствие: Площадь сечения параллельного основанию пирамиды – квадратная функция расстояния его плоскости от вершины (или основания) пирамиды.

Слайд 54

Чтобы построить усеченную пирамиду, сначала намечают карандашом полную пирамиду, проводят сечение, параллельное основанию, проводят ребра усеченной пирамиды, а верхнюю часть стирают.

Слайд 55

Правильная усеченная пирамида

Слайд 56

Усеченная пирамида называется правильной, если она составляет часть правильной пирамиды.

Слайд 57

Высота боковой грани правильной усеченной пирамиды называется апофемой. Например, KK1 – апофема правильной усеченной пирамиды. Прямая OO1 называется осью правильной усеченной пирамиды.

Слайд 58

Площадь поверхности пирамиды

Слайд 59

Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему.

Слайд 60

Площадь полной поверхности пирамиды вычисляется по формуле: Sполн = Sбок + Sосн

Слайд 61

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему пирамиды. Sбок =
p1
2

Слайд 62

Площадь боковой и полной поверхности усеченной пирамиды
Теорема: Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

Слайд 63

Объем усеченной пирамиды

Слайд 64

Объем усеченной пирамиды равен V = h/3∙(S+S1+√SS1)

Слайд 65

Дано: ABCDA1B1C1D1 – усеченная пирамида (рис. 15), S и S1 – площади оснований, h – высота. Доказать: V = =h/3∙(S+S1+√SS1)

Слайд 66

В усеченной пирамиде площадь сечения плоскостью, параллельной основанию, есть квадратная функция от расстояния сечения до этого основания. Значит, применима формула Симпсона: V = h/6∙(Sн + 4Sc + Sв) Sн = S, Sв = S1. Найдем Sc.

Слайд 67

Пусть A2B2C2D2 – среднее сечение. Примем AB = a, A1B1 = a1, A2B2 = x. Основания и среднее сечение – подобные многоугольники, и потому S : Sc : S1 = a2 : x2 : a12 отсюда a : x : a1 = √S : √Sc : √S1

Слайд 68

AA1B1B – трапеция, x – ее средняя линия, значит, (3) = (a + a1)/2 Из (2) следует, что a = m√S, x = m√Sc, a1 = m√S1, где m – общая мера. Подставим эти значения в (3): m√Sc = (m√S + m√S1)/2, значит, √Sc = (√S + √S1)/2 Sc = (√S + √S1)2/4. Подставим значения Sн, Sв и Sc в (1): V = h/6∙[S + (√S + √S1)2 + S1] = h/6[S + S + 2√SS1 + S1 + S1], т.е. V = h/3∙(S+S1+√SS1)

Слайд 69

Тетраэдр

Слайд 70

Изо всех рассмотренных пирамид наибольший интерес у меня проявляется к простейшей пирамиде, называемой тетраэдром. Я постараюсь более подробно рассмотреть тетраэдр и его свойства.

Слайд 71

Слово «тетраэдр» образовано из двух греческих слов: tetra – «четыре» и hedra – «основание, грань». Тетраэдр ABCD задается четырьмя своими вершинами – точками A, B, C, D, не лежащими в одной плоскости: грани тетраэдра – четыре треугольника; ребер у тетраэдра шесть. В отличие от произвольной пирамиды (n – угольной пирамиды, n≥4) в качестве основания тетраэдра может быть выбрана любая его грань.

Слайд 72

Как треугольник – простейший многоугольник, так тетраэдр, или треугольная пирамида – простейший многогранник. Геометрия тетраэдра ничуть не менее богата, чем геометрия его плоского собрата – треугольника, многие свойства которого в преображенном виде мы находим у тетраэдра. Немало общего имеет тетраэдр с четырехугольником – ведь у обоих по четыре вершины.

Слайд 73

Треугольники принято классифицировать по степени их симметричности: правильные или равносторонние треугольники имеют три оси симметрии, равнобедренные – одну. Самый симметричный тетраэдр правильный, ограниченный четырьмя правильными треугольниками. Он имеет 6 плоскостей симметрии – они проходят через каждое ребро перпендикулярно противолежащему ребру и 3 оси симметрии, проходящие через середины противолежащих ребер. Менее симметричны правильные треугольные пирамиды (т.е. тетраэдры с равными гранями – 3 оси симметрии).

Слайд 74

Правильная пирамида переходит сама в себя при поворотах вокруг высоты на 120˚ и 240˚, а также при симметриях относительно плоскостей, проходящих через ось и боковые ребра. По сложившейся не очень логичной традиции, термин «правильный тетраэдр» обозначает частный случай правильной треугольной пирамиды – тетраэдр, у которого все ребра равны, т.е. все грани – равносторонние треугольники. Такой тетраэдр обладает наибольшим набором самосовмещений. Имеется 12 поворотов, переводящих его в себя, 6 симметрий относительно плоскостей и еще 6 движений, сочетающих поворот с симметрией.

Слайд 75

Правильный тетраэдр – не что иное, как «стереометрический близнец» самого симметричного треугольника – правильного.

Слайд 76

Тетраэдр и сферы

Слайд 77

Любой треугольник имеет единственную вписанную и описанную окружности. Точно также у любого тетраэдра есть единственная вписанная (касающаяся всех граней) и единственная описанная (проходящая через все вершины) сферы. Доказательства этих свойств повторяют соответствующие планиметрические: центр вписанной сферы равноудален от всех вершин и лежит на пересечении перпендикуляров, восстановленных к граням из центров их описанных окружностей (т.е. четыре перпендикуляра пересекаются в одной точке). Но кроме граней и вершин тетраэдр имеет еще и ребра. Возникает вопрос: можно ли провести сферу, касающуюся всех его шести ребер (ее называют полувписанной; рис. 16)?
D

Слайд 78

Иногда. Здесь тетраэдр ведет себя, как четырехугольник, и условия существования полувписанной сферы повторяет признак описанного четырехугольника: такая сфера существует тогда и только тогда, когда суммы длин каждой пары противоположных ребер тетраэдра равны между собой:
AB + CD = AC + BD = AD + BC
D

Слайд 79

Тетраэдры, имеющие полувписанную сферу, называются каркасными. По сути дела, это все тот же планиметрический признак, но примененный к пространственным четырехугольникам – в данном случае четырехугольникам, образованным двумя парами противоположных ребер тетраэдра. Но еще большие неожиданности обнаруживаются при исследовании вневписанных сфер тетраэдра, т.е. сфер, касающихся плоскостей всех четырех его граней, но лежащих вне тетраэдра. Как известно, у любого треугольника имеется три вневписанные окружности

Слайд 80

Оказывается, из двух «чердаков» при противоположных ребрах только у одного может быть вписанная сфера. Таким образом, у правильного тетраэдра – а у него все «чердаки» одинаковы – «чердачных» сфер вообще нет, иначе они присутствовали бы во всех «чердаках». Итак, тетраэдр имеет не менее четырех и не более семи вневписанных сфер, причем все промежуточные случаи возможны.

Слайд 81

Медианы тетраэдра

Слайд 82

Для любого тетраэдра справедлив аналог теоремы о пересечении медиан треугольника в одной точке, в которой они делятся в отношении 2:1. Так, 6 плоскостей, проведенных через ребра тетраэдра и середины противолежащих ребер, пересекаются в одной точке – в центроиде тетраэдра.

Слайд 83

Медианами в тетраэдре называются отрезки, соединяющие его вершины с центроидами противоположных граней. Эти четыре отрезка всегда пересекаются в одной точке M и делятся в ней в отношении 3:1, считая от вершин (рис. 18). Через ту же точку проходят и бимедианы – отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра, причем они делятся точкой M пополам.

Слайд 84

Центроид тетраэдра, как и центроид треугольника, является центром равных масс, помещенных в его вершины, – обстоятельство, которое можно использовать для доказательства приведенных выше свойств. Чисто геометрически их можно доказать с помощью следующей полезной конструкции.

Слайд 85

Проведем через каждое ребро тетраэдра плоскость, параллельную противоположному ребру (рис. 19). Получим три пары параллельных плоскостей, ограничивающих параллелепипед, называемый описанным параллелепипедом тетраэдра. Ребра тетраэдра являются диагоналями граней параллелепипеда, середины ребер – их центроидами. Отсюда следует, что все бимедианы проходят через центр O параллелепипеда и делятся им пополам. Нетрудно увидеть, что медианы тетраэдра лежат на диагоналях граней параллелепипеда и также проходят через точку O.

Слайд 86

Ортоцентрический и прямоугольный тетраэдры

Слайд 87

Медианы тетраэдра «ведут себя примерно» – как и в треугольнике, они всегда проходят через одну и ту же точку. Иначе обстоит дело с высотами – перпендикулярами, опущенными из вершин тетраэдра на противоположные грани. Высоты треугольника пересекаются в одной точке – ортоцентре. То же верно и для правильных тетраэдров, в частности для правильных треугольных пирамид. Но, например, у тетраэдра ABCD, вписанного в куб, как показано на рис. 20, ребра AB и DC сами являются высотами и не пересекаются.

Слайд 88

И все же ортоцентр существует у достаточно широкого класса тетраэдров. Они так и называются – ортоцентрические тетраэдры. Любой из них можно получить, взяв в качестве основания произвольный треугольник и соединив его вершины с любой точкой на перпендикуляре к его плоскости, восстановленном из его ортоцентра (рис. 21). И обратно, основания всех высот ортоцентрического тетраэдра – ортоцентры его граней. Приведем еще несколько критериев (т.е. необходимых и достаточных условий) ортоцентричности: тетраэдр является ортоцентрическим тогда и только тогда, когда его противоположные ребра перпендикулярны; или середины всех шести ребер лежат на одной сфере; или все ребра описанного параллелепипеда равны.

Слайд 89

Некоторые свойства треугольника, связанные с ортоцентром, например теорема о прямой Эйлера и об окружности девяти точек в соответственно измененном виде, можно найти и у ортоцентрического тетраэдра. Центроид ортоцентрического тетраэдра лежит на отрезке между ортоцентром H и центром описанной сферы O и делит этот отрезок пополам, а точка, которая р