Презентация - Способы решения квадратных уравнений

Слайд 1

ax2 + bx + c = 0
Способы решения квадратных уравнений
x2 + px + q = 0

Слайд 2

Разложение левой части уравнения на множители.

Слайд 3

Решим уравнение х 2 +10 х – 24 = 0. Разложим левую часть уравнения на множители применив способ группировки: х 2 +10 х – 24 = х 2 + 12 х - 2 х – 24 = х (х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)( х - 2). Уравнение можно переписать так: (х + 12)( х - 2) = 0 Произведение равно нулю, когда один из его множителей равен нулю. Левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2, а также при х = - 12. Значит, числа 2 и -12 являются корнями уравнения х 2 +10 х – 24 = 0.

Слайд 4

Метод выделения полного квадрата.

Слайд 5

Решим уравнение х 2 + 6 х – 7 = 0. Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение х2 + 6х в следующем виде: х 2 + 6х = х2 + 2 х *3. В полученном выражении первое слагаемое – квадрат числа х, а второе – удвоенное произведение х на 3. Поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 9 , так как х2 + 2х*3 + 9 = (х + 3)2 Преобразуем теперь левую часть уравнения: х2+ 6х- 7 = 0, Прибавляя к ней и вычитая 9. Имеем: х 2 + 6 х – 7 = х2 + 2 х *3 + 9 – 9 – 7 = (х + 3)2 – 9 – 7 = (х + 3)2 - 16. Таким образом, данное уравнение можно записать так: (х + 3)2 – 16 = 0, т.е. (х + 3)2 = 16. Следовательно, х + 3=4, х = 1, или х + 3= - 4, х = - 7.

Слайд 6

Решение квадратных уравнений по формуле.

Слайд 7

Слайд 8

Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Слайд 9

Как известно, приведённое квадратное уравнение имеет вид x2 + px + q = 0 Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при a = 1 имеет вид x1 x2 = q x1 + x2 = -p Отсюда можно сделать следующие выводы a) Если свободный член q приведённого уравнения положителен (q>0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента p. Если p>0, то оба корня отрицательны, если p<0, то оба корня положительны. b) Если свободный член q приведённого уравнения отрицателен (q<0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причём больший по модулю корень будет положителен, если p<0, или отрицателен, если p>0.

Слайд 10

Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Слайд 11

Пусть дано квадратное уравнение a2 x + bx + c = 0, где а <> 0. Если a + b + c = 0, то х1 = 1, х2 = с/а. Доказательство. Разделим обе части уравнения на а, получим приведённое квадратное уравнение x + bx/a + c/a = 0. Согласно теореме Виета x1 + х2 = (-b)/a, x1x2 = c/a, По условию a + b + c = 0, откуда b = -a -c. Значит, x1+x2= -(-a - c)/a = 1 + c/a, x1x2=1c/a. Получаем х1 = 1, х2 = с/а, что и требовалось дoказать. Если a – b + c = 0,или b = a + c, то х1 = -1, х2 = -с/а Доказательство. По теореме Виета x1 + х2 = (-b)/a, x1x2 = -1(-c/a), По условию a – b + c = 0, откуда b = a + c. Таким образом x1+х2 = -(a + b)/a = -1 - c/a, x1x2 = -1(-c/a), т.е х1 = -1 и х2 = -с/а, что и требовалось доказать.